УДИВИТЕЛЬНЫЙ  ЧИСЛОВОЙ  КОРТЕЖ

Мамедяров  Даглар  Мамедярович

канд.  пед.  наук,  Дербентский  филиал  «Московский  государственный  гуманитарный  университет  им.  М. А.  Шолохова,  РФ,  г.  Дербент

INCREDIBLE  NUMERICAL  TUPLE

Daglar  Mamedyarov

candidate  of  pedagogic  sciences,  Derbent  Branch  of  Sholokhov  Moscow  State  University  for  the  Humanities,  Russia,  Derbent

АННОТАЦИЯ

Эта  статья  является  мини-исследовательской  работой  автора.  Целью  работы  была:  выявление,  каких-то  соотношений  и  связей  между  числами,  в  том  числе  «чисел  сочетаний».  В  ходе  работы  был  найден  нестандартный  метод  образования  чисел  сочетаний,  т.  е.  биномиальных  коэффициентов,  раскрыты  некоторые  свойства  сочетаний.

ABSTRACT

This  article  is  a  mini  research  of  the  author.  It  is  aimed  at  revelation  of  some  correlations  and  connections  between  numbers,  including  numbers  of  combinations.  During  the  work  a  non-standard  formation  method  of  numbers  of  combinations  has  been  found,  namely  of  binomial  coefficients;  some  properties  of  combinations  have  been  revealed. 

Ключевые  слова:  кортеж;  треугольник  Паскаля. 

Keywords :  tuple;  Pascal  triangle. 

Слово  «кортеж»  в  переводе  на  русский  означает  «торжественное  шествие»  (говорят  «свадебный  кортеж»,  кортеж  автомашин»).  Примерами  кортежей  могут  служить  слова  (кортежи,  составленные  из  букв  алфавита),  десятичные  записи  чисел  (кортежи,  составленные  из  цифр)  и  т.  д.  Подчеркнем  отличие  понятие  кортежа  от  понятия  множества:  в  множестве  все  элементы  различны,  а  в  кортеже  компоненты  могут  повторяться.

В  этой  статье  мы  рассмотрим  кортежи,  которые  обладают  любопытными  свойствами.

Возьмем  0,  к  нему  добавим  1  и  2.  Получим  кортеж  (1  2).  К  каждому  элементу  этого  кортежа  добавим  по  1  и  2,  получим  кортеж  2  3  3  4.  Добавляя  к  каждому  элементу  полученного  кортежа  по  1  и  2,  получаем  новый  кортеж.  Записывая  все  наши  кортежи,  друг  под  другом,  получаем  пирамиду  из  кортежей.

0

1  2

2  3  3  4

3  4  4  5  4  5  5  6

4  5  5  6  5  6  6  7  5  7  6  7  7  8

.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  и  т.  д.  (

Если  к  0  прибавим  2  и  4,  получим  кортеж

0

2  4

4  6  6  8

6  8  8  1  0  8  1  0  1  0  1  2

8  1  0  1  0  1  2  1  0  1  2  1  2  1  4  1  0  1  2  1  2  1  4  1  2  1  4  1  4  1  6

.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  (.

В  общем  виде  наши  пирамиды  будут  иметь  следующий  вид:

0

R  2R

2R  3R  3R  4R

3R  4R  4R  5R  4R  5R  5R  6R

4R  5R  5R  6R  5R  6R  6R  7R  6R  6R  7R  6R  7R  7R  8R

.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  (.

Эти  кортежи  обладают  следующим  удивительным  свойством:  число  повторений  в  каждой  строке  ступенчатой  пирамиды  является  строкой  треугольника  Паскаля. 

Запишем  это:

0

1  1

1  2  1

1  3  3  1

1  4  6  4  1 

1  5  10  10  5  1

.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 

Треугольник  Паскаля  обладает  массой  интереснейших  свойств,  главное  из  которых:  не  выполняя  самого  умножения  (возведения  в  степень),  с  его  помощью  просто,  быстро  и  точно  можно  возводить  в  любую  степень  двучлен  (a+b).  Правда  коэффициенты  мы  будем  находить  рекуррентно,  т.  е.,  для  того,  чтобы  узнать  коэффициенты  разложения  бинома  седьмой  степени,  надо  знать  их  для  шестой,  а  чтобы  узнать  для  шестой,  сначала  найти  их  для  пятой  и  так  далее  до  самого  начала.  То  же  самое  и  в  случае  наших  пирамид.  Например,  чтобы  узнать  числа  в  пятой  строке,  нужно  знать  элементы  в  четвертой  строке  и  т.  д.  Из  каждого  элемента  предыдущей  строки  получается  два  элемента  следующей.

Например.

Но  нельзя  ли  обойтись  без  этого?  Оказывается,  можно  вычислять  элементы  каждой  строки  пирамиды,  не  зная  элементов  предыдущей.  Для  этого,  возьмем  любое  множество,  элементами  которого,  являются  числа  (для  удобства).  Если  нам  нужно  вычислять  элементы  строки  n,  то  нужно  взять  числовое  множество,  где  разность  между  первым  и  последним  элементами  равна  n.  Например  n=4.  Можно  взять  (1,2,3,4,5)  или  (2,3,4,5,6)  или  же  (4,5,6,7,8)  и  т.  д.  Наши  кортежи  содержат    элементов  и  кортежи  можно  разбить  на  кортежи  с  количеством  элементов  1.  То  есть  каждый  следующий  кортеж  состоит  из  как  бы  «вложенных»  друг  в  друга  кортежей  предыдущих  строк,  ступенчатой  пирамиды.  Например,  кортеж  для  пятой  строки  пирамиды  ,  состоит  из  кортежей  с  количеством  элементов  2,  . 

1  кортеж  5  6

2  кортеж  5  6  6  7 

3  кортеж  5  6  6  7  6  7  7  8

4  кортеж  5  6  6  7  6  7  7  8  6  7  7  8  7  8  8  9

Выясним  закон  образования  кортежа  на  примере  кортежа  из  множества  (2,3,4,5,6,7,8,9),  n=7.  Запишем  кортеж  в  виде  прямоугольной  таблицы.

2334  3445  3445  4556

3445  4556  4556  5667

3445  4556  4556  5667

4556  5667  5667  6778

3445  4556  4556  5667

4556  5667  5667  6778

4556  5667  5667  6778

5667  6778  6778  7889

1.  Пишем  первый  элемент,  рядом  дважды  второй,  потом  третий.  Получаем  кортеж  2  3  3  4  —  первая  четверка.

2.  Для  каждого  элемента  первой  четверки  составляем  такие  кортежи  2  3  4  3  4  3  4  4  5  3  4  4  5  4  5  5  6  —  первая  строка  (большая  четверка).

3.  Для  второй  четверки  3  4  4  5  составляем  такие  кортежи.  Это  вторая  строка  (вторая  большая  четверка).

4.  Для  третьей  четверки  составляем  кортежи  и  это  пишем  в  третью  строку.

5.  Составляем  кортеж  для  четвертой  четверки  первой  большой  четверки.  Это  будет  четвертой  строкой. 

Далее  составляем  такой  кортеж  для  первой  четверки  второй  большой  четверки  и  т.  д.,  пока  не  появится  последний  элемент.  Тогда  процесс  завершается.  Зная  это  правило,  легко  составлять  любой  кортеж,  по  кортежу  все  строки  треугольника  Паскаля. 

Для  нашего  кортежа  число  повторений:  1  7  2  1  3  5  3  5  2  1  7  1  —  седьмая  строка  треугольника  Паскаля.

Кортежи  длиной    можно  расположить  в  квадратную  или  прямоугольную  таблицу.  Например,  кортеж  для  шестой  строки  можно  расположить  так,  чтобы  в  строке  и  в  столбце  были  коэффициенты  разложения  или    и    и  т.  д.

Составим  таблицы  для  шестой  строки  пирамиды.

Таблица  1.

Составим  вторую  таблицу  из  первой.

Таблица  2.

1,3,3,1  —  число  повторений  столбцов.  Числа  в  строке  таблицы  2  —  это  количество  повторений  элементов  в  столбце.  Из  этой  таблицы  мы  получаем  следующие  тождества:

;

.

  и  т.  д.

Из  этих  таблиц  можно  получить  тождества  как: 

;

;

;

.  .  .  .  .  .  .  .  .  …  .  .  .  ..  .  .  .  ..  .  ..  .  .  ..  .  .  .  .  ..  .  .  ..  .  .  ..  .  .  .

;  .

Эти  формулы  можно  получить  из  таблицы,  когда  число  повторений  элементов  в  строке  и  столбце  составляют  коэффициенты  разложения  бинома  .

Приведем  еще  несколько  интересных  тождеств.

;

;

;

;  ;  ;

;  ;

В  общем  виде  эти  тождества  можно  записать  так:

  (1),  (m-n+1  слагаемых). 

Если,  ,  то  в  правой  части  наших  тождеств  появляются  все  коэффициенты  разложения  бинома  Ньютона,  если  же  ,  то  появляются  ни  все  коэффициенты.

Используя  такие  таблицы  и  тождество  (1)  можно  получить  очень  много  интересных  свойств  сочетаний.

Список  литературы:

1.Мамедяров  Д.М.,  Вакилов  Ш.М.  Некоторые  свойства  соединений  и  фигурных  чисел  и  их  применение  при  решении  задач.  Учебное  пособие  «Дербент,  2006».