ИССЛЕДОВАНИЕ  ЛИНЕЙНЫХ  СИСТЕМ  ОБЫКНОВЕННЫХ  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ  УРАВНЕНИЙ  С  ДВУМЯ  СИНГУЛЯРНЫМИ  ТОЧКАМИ,  КОГДА  ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ  УРАВНЕНИЕ  ИМЕЕТ  ТОЛЬКО  КРАТНЫЕ  КОРНИ  С  НАГРУЗКАМИ  СВОБОДНЫХ  ЧЛЕНОВ  И  С  ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ  УСЛОВИЯМИ

Хидиров  Худойкул  Сатторович

канд.  физ.-мат.  наук,  Филиал  технологического  университета  Таджикистана  в  г.  Куляб,  Республика  Таджикистан,  г.  Куляб

E -mail:  habibullo-n@yandex.ru

STUDY  OF  LINEAR  SYSTEMS  OF  ORDINARY  DIFFERENTIAL  EQUATIONS  WITH  TWO  SINGULAR  POINTS,  WHEN  THE  CHARACTERISTIC  EQUATION  HAS  MULTIPLE  ROOTS  ONLY  WITH  LOADS  OF  FREE  MEMBER  AND  WITH  THE  ADDITIONAL  CONDITIONS

Khidirov  Hudoqul

candidate  of  physical  and  mathematical  sciences,  Branch  Technological  University  of  Tajikistan  in  Kulob,  Republic  of  Tajikistan,  Kulob

АННОТАЦИЯ

На  статье  рассмотрена  система  линейных  дифференциальных  уравнений  с  двумя  сингулярными  точками,  с  нагрузками  свободных  членов,  с  дополнительными  условиями.  Исследовано  существование  ее  решения  с  алгебраическим  линейным  уравнением. 

ABSTRACT

On  paper  we  consider  a  system  of  linear  differential  equations  with  two  singular  points  and  with  loads  of  free  member  and  with  the  additional  conditions  investigated  the  existence  of  its  solution  with  the  algebraic  linear  equations.

Ключевые  слова:  система  дифференциальных  уравнений;  нагрузка;  дополнительные  условие;  сингулярные  точки.

Keywords :  system  of  differential  equations;  load;  additional  conditions;  singular  point.

Рассмотрим  систему  уравнений

  ,    (1)

где  заданные  непрерывные  функции  (без  ограничения  общности  можем  считать  их  вещественными).  Что  касается  свободных  членов  и  решений,  то  при    и    они  также  считаются  непрерывными,  а    непрерывно  дифференцируемыми:  в  сингулярных  точках    они  могут  быть  непрерывными  (класс  С),  либо  просто  ограниченными  (класс  М)  нагрузками  и  с  дополнительными  условиями  .

.  ,  ()  Будем  пользоваться  также  векторной  записью

  (2)

где    а  и  искомый  и  заданный  векторы-столбцы,  в  силу  чисто  технических  причин  записываемые,  однако,  в  строку 

,,

Рассмотрим  сначала  модельную  систему 

    (3)

Если  то  получается  однородная  система,  вместо    и  получим  однородную  систему  в  таком  виде:

  (4)

Пытаясь  удовлетворить  однородные  системы  уравнений  (4)  степенными  функциями    придем  к  характеристическому  уравнению

Дифференцируем  и  подставим  систему  уравнений  (4)

, 

После  сокращения  на  получим  систему  алгебраических  уравнений 

  (5)

Или  в  матричном  форме

.

Рассмотрим  случай,  когда  его  корни  кратные 

(кратность  ),  причем  .  Из  этого  необходимо  следует  .  Если    являются  линейно  независимыми  решениями  систем  с  определителями  равными  нулю

то    и    

образуют  линейно-независимых  решений  систем  (4).

Записывая  общее  решение  системы  (4)

    (6)

    ,

где  произвольные  постоянные,  для  нахождения  частного  решения  неоднородной  системы    пользуемся  методом  вариации  постоянных.  Дифференцируем  (6)  и  подставим  в  (3)

После  подставленные  их  в  систему  (3)  получим

      (7)

откуда  имеем:

,

либо

,  (8) 

где    и  алгебраическое  дополнение  элемента    в  матрице

,  .  Интегрируя  (8)  в  пределах    при    и  в  пределах    при    и  вводя,  операторы

  ,    ,

  (9)

  ,  ()

сможем  записать 

так  что

    (10)

Таким  образом,  общее  решение  (3)  находится  формулами:

,  ,  (11)

Возвращаясь  к  общему  случаю  переменных  коэффициентов,  стандартной  процедурой  вычитания  преобразуем  (1)  к  системе  с  постоянными  коэффициентами,  но  со  «свободными  членами»  будем  иметь:

Вставляя  их  в  формулы  обращения  (11),  придем  к  системе  интегральных

уравнений:

    (12) 

Как  показывают  формулы  (12)  и  (10),  все    выражаются  в  виде  линейных  комбинаций  с  постоянными  коэффициентами  над  простейшими  операторами.

  ,

Прежде  всего,  поскольку    непрерывны,  то  операторы    действуют  и  ограниченны  в  С  и  М,  причем

    (14).

Во  вторых,  поскольку    то    и,  кроме  того,  как  показано  операторы    вполне  непрерывны  в  С,М.

Таким  образом,  нами  доказано:

Подставим  значение  (12)  на  дополнительные  условие  ().

при  ,    

при  ,  . 

Получаем  две  линейные  системы  алгебраических  уравнений.

при  ,  при  ,  (15)

Имеет  три  случай:  а)  ,  в)  ,  с)  .

Теорема.  Пусть  дано  системы  линейных  дифференциальных  уравнений  (1)

1.  Если  на  системы  линейных  алгебраических  уравнений  (л.а.с.)  (15)    и    то  системы  линейных  дифференциальных  уравнений  (1)  имеет  единственные  решения.

2.  Если  при    и    (л.а.с.)  (15)имеет  решение,  то  система  линейных  дифференциальных  уравнений  разрешима.  Противном  случае  не  имеет  решения.

Список  литературы:

1.Михайлов  Л.Г.  О  одном  свойстве  сингулярных  дифференциальных  уравнений  //ДАН  России,  —  1991,  —  т.  321,  —  №  4,  —  с.  181—185.

2.Михайлов  Л.Г.  Об  одном  способе  исследования  систем  обыкновенных  дифференциальных  уравнений  с  сингулярными  точками  //ДАН  России,  —  1994,  —  т.  336,  —  №  1,  —  с.  21—23.

3.Степанов  В.В.  Курс  дифференциальных  уравнений.  Государственное  издательство  технико-теоретической  литературы,  М.  1956,  —  465  с.

4.Хартман  Ф.  Обыкновенные  дифференциальные  уравнения.  М.,  Мир-1970,  —  389  с.

5.Хидиров  Х.С.  Линейные  системы  обыкновенных  дифференциальных  уравнений  с  одной  сингулярной  точкой,  когда  характеристическое  уравнение  имеет  кратные  корни  //ДАН  РТ,  —  2009,  —  т.  52,  —  №  7,  —  с.  507—512.

6.Хидиров  Х.С.  Линейные  системы  обыкновенных  дифференциальных  уравнений  с  тремя  сингулярными  точками  //ДАН  РТ,  —  2010  г.,  —  т.  53,  —  №  1,  —  с.  20—24.