ЭНЕРГИЯ  ВИХРЕВЫХ  РАСПРЕДЕЛЕНИЙ  НАМАГНИЧЕННОСТИ  ЛЕГКОПЛОСКОСТНОГО  ФЕРРОМАГНЕТИКА

Хусаинова  Галина  Владимировна

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  Уральской  государственной  архитектурно-художественной  академии,  РФ,  г.  Екатеринбург

E -mail:  aldisa@mail.ru

Хусаинов  Дамир  Зиннурович

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  Уральской  государственной  архитектурно-художественной  академии,  РФ,  г.  Екатеринбург

E -mail:  damiran@mail.ru

Сагарадзе  Игорь  Викторович

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  Уральской  государственной  архитектурно-художественной  академии,  РФ,  г.  Екатеринбург

E-mail:  

THE  ENERGY  OF  VORTEX  MAGNETIZATION  DISTRIBUTIONS  IN  EASY-PLANE  FERROMAGNET

Khusainova  Galina

candidate  of  Science,  associate  professor  of  the  Ural  State  Architecture  and  Art  Academy,  Russia,  Ekaterinburg

Khusainov  Damir

candidate  of  Science,  associate  professor  of  the  Ural  State  Architecture  and  Art  Academy,  Russia,  Ekaterinburg

Sagaradze  Igor

candidate  of  Science,  associate  professor  of  the  Ural  State  Architecture  and  Art  Academy,  Russia,  Ekaterinburg

АННОТАЦИЯ

Рассмотрена  энергия  легкоплоскостного  ферромагнетика  с  вихревым  статическим  распределением  намагниченности,  образующегося  при  взаимодействии  двух  доменных  границ.  Проведен  анализ  зависимости  энергии  от  взаимного  расположения  границ.  Показано,  что  энергия  имеет  наименьшее  значение  в  случае,  когда  доменные  границы  параллельны  .

ABSTRACT

The  energy  of  vortex  static  magnetization  distribution  in  easy-plane  ferromagnet  arising  by  interaction  two  domain  walls  was  considered.  The  analysis  of  dependence  energy  from  relative  position  walls  has  been  done.  It  has  been  shown  that  energy  is  least  value  in  the  case  of  parallel  domain  walls.

Ключевые  слова:  вихрь;  солитон;  энергия  ферромагнетика.

Keywords:   vortex;  soliton;  energy  of  ferromagnet.

Теоретические  исследования  стационарных  неоднородных  распределений  намагниченности  основываются  на  определенных  физических  приближениях  [2,  c.  27].  При  этом  нелинейные  уравнения  феноменологической  теории  магнетизма  сводятся  к  более  простым  уравнениям,  имеющим  точные  аналитические  решения.  Так,  для  модели  ферромагнетика  с  большой  анизотропией  по  оси  Z:    и    (  —  постоянные  анизотропии)  двумерные  распределения  вектора  намагниченности    описываются  нелинейным  двумерным  статическим  уравнением  синус-Гордон  [2,  c.  96]:

    (1)

где    —  азимутальный  угол,    ,

  —  характерная  магнитная  длина,  связанная  с  обменным  взаимодействием  и  постоянной  анизотропии:  .  В  основном  состоянии  вектор  намагниченности    лежит  в  «легкой  плоскости»  XY:  .

В  этом  случае  плотность  свободной  энергии  имеет  вид:

    (i=1,2),  (2)

  —  константа  обменного  взаимодействия. 

Рассмотрим  двухсолитонное  решение  уравнения  (1)  [1,  c.  469]  :

    ,  (3)

где    ,    —  начальная  фаза,  ,    (i=1,2)  , 

,  —  вещественные  постоянные,    .

Оно  описывает  вихревое  распределение  намагниченности,  образующееся  при  пересечении  двух  180⁰  доменных  границ  с  топологическим  зарядом  n=2  [1,  с.  470]  .Для  ограниченных  фазовых  постоянных    (i=1,2)  данное  решение  в  пределе    сводится  к  односолитонному  решению.  Нетривиальное  решение  нового  типа  (вырожденное  солитонное  решение)  можно  получить  в  пределе    ,  если  рассматривать  фазовые  постояные  неограниченными  и  имеющими  особенности  [3,  с.  36].  Предположим,  что  фазовые  постоянные  являются  сингулярными  функциями  параметров  солитона:

  .  (4)

Преобразуем  (3)  :

  .

Пусть    ,  где  a  и  b  —  вещественные  постоянные.  Учитывая,  что  ,  получаем

  ,    ,    .

Таким  образом,    .  (5)

Или

  .  (6)

С  учетом  плотности  энергии  ферромагнетика  W,  магнитная  энергия  ферромагнетика:

    (7)

(выражение  записано  в  безразмерных  единицах,  за  единицу  длины  выбрана  длина  )  .

С  учетом  (6)  преобразуем  данное  выражение 

  ,  (8)

где    —  энергия  основного  состояния  ферромагнетика, 

  ,    ,    ,

,    .

Видно,  что  энергия  (8)  зависит  от  параметра  .  Отметим,  что  в  работе  [4,  с.  22]  авторами  было  исследовано  простейшее  вырожденное  солитонное  решение  уравнения  (1).Было  показано,  что  в  вырожденном  случае,  когда  вектора    и  ,  характеризующие  доменные  границы,  параллельны  (параметр  )  энергия  ферромагнетика,  хотя  и  большая  (линейная  по  R),  но  меньше,  чем  в  невырожденном  случае  с  распределением  намагниченности,  соответствующим  случаю  перпендикулярных  векторов    и    (параметр  ).  Этот  анализ  энергии  для  двух  случаев  расположения  векторов:    (вырожденный  случай)  и    позволяет  предположить,  что  энергия  ферромагнетика  с  уменьшением  параметра    от  1  до  0  будет  расти.

Исследуем  изменение  p  и  q  как  функций  от  параметра    :

    ,  (9)

  .  (10)

Нетрудно  показать,  что  в  случае  больших  x  и  y;  то  есть  при    (A,  B  —  некоторые  числа):

    (11)

Найдем,  как  изменяется  плотность  энергии    с  изменением  параметра  :

  .(12)

Рисунок  1.  Зависимость  энергии    при  различных  значениях  R  (R  =  20,30,  40).  (R  —  размер  образца)

Внимательный  анализ  полученного  выражения  (12)  с  учетом  (11)  и  того  факта,  что  ,  приводит  к  результату:  .  Таким  образом,  плотность  энергии  является  убывающей  функцией  параметра  .  Численный  анализ  интеграла  энергии  (8)  дает  аналогичный  результат.  На  (рис.  1)  приведена  зависимость    для  различных  значений  образца  R.  Видно,  что  для  всех  R  наблюдается  уменьшение  величины  энергии  при  увеличении  значения  :  при    энергия  уменьшается,  что  полностью  согласуется  с  результатом  выше  приведеннного  аналитического  анализа.

Список  литературы.

1.Борисов  А.Б.,  Танкеев  А.П.,  Шагалов  А.Г.  Вихри  и  двумерные  солитоны  в  легкоплоскостных  магнетиках  //ФММ,  —  1985  —  Т.  60  —  С.  468—479.

2.Косевич  А.М.,  Иванов  Б.А.,  Ковалев  А.С.  Нелинейные  волны  намагниченности.  Динамические  и  топологические  солитоны.  Киев:  Наук.  Думка,  1983  —  192  с.

3.Хусаинова  Г.В.  (Безматерных  Г.В.),  Хусаинов  Д.З.  Вырожденное  солитонное  решение  двумерного  уравнения  синус-Гордон  //Фундаментальные  и  прикладные  исследования  в  современном  мире:  материалы  VII  Междунар.  науч.-практ.  конф.  СПб.,  —  2014  —  Т.  1  —  С.  32—38.

4.Хусаинова  Г.В.  (Безматерных  Г.В.),  Хусаинов  Д.З.  Вихревое  решение  двумерного  уравнения  синус-Гордон//Естественные  и  математические  науки  в  современном  мире:  Cб.  ст.  по  материалам  XXVI  Междунар.  науч.-практ.  конф.  Новосибирск,  —  2015  —  №  1  (25)  —  С.  17—23.