ДИССИПАТИВНОЕ  ОТОБРАЖЕНИЕ  ЦИЛИНДРА:  НЕПОДВИЖНЫЕ  ТОЧКИ  КОЛЕБАТЕЛЬНОГО  ТИПА

Лебедева  Лариса  Владимировна

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  ВГАВТ,  РФ,  г.  Нижний  Новгород

E -mail:  Anoshina51@mail.ru

Отображение 

является  математической  моделью  ряда  радиофизических  систем  [2,  с.  161;  3,  с.  23;  5,  с.  115].  Кроме  того,  это  интересный  математический  объект  [4,  с  72;  6,  с.  138].  Цель  настоящей  работы:  установить  области  параметров,  при  которых  отображение  имеет  в  окрестности  начала  координат  неподвижные  точки,  и  определить  характер  устойчивости  этих  неподвижных  точек.

1.  Общие  свойства  отображения.  Предположим,  что  параметры  ,    и    отображения  принадлежат  области  . 

Очевидно  [2,  с.  16,  2]  (в  силу  периодичности  фазовых  картин  отображения  по  координате    и  симметричности  фазового  портрета  в  плоскости    относительно  начала  координат),  что  свойства  отображения    определяются  свойствами  отображения  ,  являющегося  отображением  цилиндра    на  себя.

Отличительной  особенностью  рассматриваемого  отображения  является  наличие  притягивающего  слоя  в  его  фазовом  пространстве.

Теорема  1 .  Любая  траектория  фазового  пространства  отображения  (1)  приходит  в  слой    и  не  покидает  его.

Доказательство .  Приращение    по  переменной    имеет  вид:  .  Предположим,  что  .  Тогда  выполняется  неравенство:  .  Аналогично  из  неравенства    следует  неравенство  .  Таким  образом,  траектории,  начинающиеся  вне  слоя    (т.  е.  с  координатами,  удовлетворяющими  условию:    ),  стремятся  к  слою  . 

Докажем,  что  если  точка  с  координатами    принадлежит  слою  ,  то  принадлежит  слою    и  ее  образ  —  точка  с  координатами  .  Сначала  рассмотрим  случай  .  При  этом  справедливо  неравенство  .  Оценим  разность  .  Имеем  .  Чтобы  доказать,  что  при    справедливо  неравенство  ,  оценим  разность  .  Очевидно,  что  она  неотрицательна.  Получили:  если  ,  то  для  всех    точка  с  координатами    принадлежит  слою  .  Аналогично  рассматривается  случай  .

Теорема  доказана. 

Замечание  1.   Утверждение  теоремы  справедливы  не  только  в  области  параметров  ,  но  и  для  параметров  из  области  .

Замечание  2.   Если  ,  то  ширина  притягивающего  слоя  —  величина    —  стремится  к  значению  ,  а  если  ,  то  эта  величина  неограниченно  возрастает.  Если  ,  то  слой    —  это  весь  цилиндр  .

2.  Неподвижные  точки 

Последовательность  точек    ...,  ,…,  где    —  точка  с  координатами  ,    и  ,  назовем  траекторией  отображения  .  Будем  говорить,  что  траектория  является  -циклом,  если  для  ее  точек  верно  соотношение:  для    выполнено,  а  для  любого    не  выполнено  условие  .  Неподвижной  точкой  типа    отображения    назовем  любую  из  точек  -цикла.  При  этом    соответствует  циклу  (неподвижной  точке)  вращательного  (колебательного)  типа.  (Эти  и  другие  используемые  термины  можно  посмотреть  в  [1,  с.  87].).

2.1.  Неподвижные  точки  типа    .

Теорема  2 .  Если  параметры,  принадлежат  области  ,  то  отображение    имеет  неподвижные  точки    и    (и  на  цилиндре  совпадающую  с  ней  точку  )  типа  .  Неподвижная  точка    при  всех  значениях  параметров  —  гиперболическая  (седловая).  Неподвижная  точка    устойчива  в  области  ,  где    ,  ,  ,    и  неустойчива  в  области  .

Доказательство .  Координаты  неподвижных  точек  типа    есть  решения  системы  .  Откуда  и  следует  первая  часть  утверждения.  Характеристическое  уравнение  [3,  с.  82]  системы  (1)  имеет  вид:  ,  где  ,  .  Если  ,  то  при  любых  значениях  параметров  из  области    выполняется  неравенство  .  Таким  образом,  неподвижные  точки    имеют  гиперболический  характер  устойчивости  [1,  с.  95].  Если  ,  то  ,  .  Условие  устойчивости  в  данном  случае  запишется  как  соотношение  .  Поскольку  при    выполняется  неравенство  ,  то  в  области  точка    устойчива.

Следствие.   Неподвижная  точка    теряет  свою  устойчивость  либо  при  переходе  через  прямую    (в  результате  бифуркации  удвоения,  превращаясь  в  «обратное  седло»),  либо  при  переходе  через  прямую    (превращаясь  в  неустойчивый  фокус  или  неустойчивый  узел). 

2.2.  Неподвижные  точки  типа  .

Теорема  3 .  При    отображение    имеет  неподвижные  точки    типа  ,  координаты  которых  суть  решения  системы:

Кроме  этих  точек  при    отображение    имеет  неподвижные  точки  с  координатами,  определяемыми  системой:

Доказательство .  Координаты  неподвижных  точек  типа    есть  решения  системы    т.е.  системы  .  Выполнив  некоторые  алгебраические  преобразования  системы,  получим,  что,  если  неподвижные  точки  типа    существуют,  то  их  координаты  являются  решениями  системы:  ,  т.е  .  решением  одной  из  двух  систем:

Решение  системы  А .  Эта  система  может  быть  преобразована  к  виду:    Второе  уравнение  имеет  решение  на  множестве    только  при  выполнении  условия    (т.  е.  или  ,  или  ).  Первое  положение  теоремы  доказано.

Решени  системы  В .  Система  может  быть  преобразована  к  виду:  .  Она  имеет  решение,  если  верно  неравенство  .  Следовательно,  необходимое 

условие  существования  решения  системы  В  —  это  истинность  неравенства:  .  Соответствующее  решение  записывается  в  виде  системы  (3).  Теорема  доказана.

Следствие  1   (обобщение  следствия  1  из  теоремы  2).  При  переходе  через  бифуркационную  прямую    неподвижная  точка    теряет  свою  устойчивость,  и  из  нее  рождается  пара  неподвижных  точек,  координаты  которых  есть  решения  системы  (2).

Замечание.  Неподвижные  точки  вида  (3)  существуют  только  при  ,  т.  е.  вне  рассматриваемой  области  параметров  .

Теорема  4 .  Неподвижные  точки    устойчивы,  если  выполнена  одна  из  систем  неравенств:

Доказательство .  Характеристическое  уравнение  отображения    имеет  вид:  ,  где  (т.к.  )  ,  .  Чтобы  неподвижная  точка  была  устойчива,  должны  выполняться  [3,  с.  91]  три  неравенства  ,  ,  .  Проанализируем  их. 

Рассматривая  разность  ,  установим,  что,  если  истинно  неравенство  ,  то  выполняется  и  соотношение  . 

Если  ввести  замену  ,  ,  то  разность    можно  записать  в  виде  суммы  двух  квадратов    .  Значит,  в  области    неравенство    является  верным.

Условие  ,  очевидно,  записывается  одной  из  двух  систем  неравенств.

Или  в  виде  системы  А.  ,  или  в  виде  системы

В.  .  Учитывая,  что  при    неравенство    справедливо,  получаем  доказательство  теоремы.

Следствие .  Неподвижные  точки  типа    не  имеют  бифуркации  удвоения. 

4.  Заключение.  Установлено  существование  области  параметров,  при  которых  отображение  имеет  устойчивую  неподвижную  точку  или  устойчивый  -цикл.  Значит,  возможно  глобально  асимптотически  устойчивое  колебательное  движение  фазовых  траекторий  вблизи  начала  координат.  Это  важно  с  точки  зрения  работы  реальных  радиофизических  систем  [5,  с.  197],  математической  моделью  которых  является  рассматриваемое  отображение. 

Список  литературы:

1.Арнольд  В.И.  Дополнительные  главы  теории  обыкновенных  дифференциальных  уравнений.  М.,  Наука,  1978.

2.Белых  В.Н.  Модели  дискретных  СФС  и  их  исследование.  В  кн.  Системы  фазовой  синхронизации  //  Под  ред.  В.В.  Шахгильдяна,  Л.Н.  Белюстиной.  М.:  Радио  и  связь,  1982,  —  с.  161—162.

3.Белых  В.Н  Качественные  методы  теории  нелинейных  колебаний  сосредоточенных  систем.  Учебное  пособие.  Горький,  ГГУ,  1980.

4.Лебедева  Л.В.  Динамика  импульсных  систем  фазовой  синхронизации  второго  порядка  //  Сб.  тез.  Всесоюзной  конф.  «Развитие  и  совершенствование  устройств  синхронизации  в  системах  связи».  М.  1988.

5.Шахгильдян  В.В.,  Ляховкин  А.А.  Системы  фазовой  автоподстройки  частоты  с  элементами  дискретизации.  М.:  Связь,  1979.

6.Lebedeva  L.V.  Bifurcation  Sequence  of  One  Cylinder  Map  //  International  Conference  on  CONTEMPORARY  PROBLEMS  in  THEORY  of  DYNAMICAL  SYSTEMS  (CPTDS  96)  Abstracts,  Nizhny  Novgorod,  Russia,  1996.