МЕТОД  «МАЛЫХ  ШЕВЕЛЕНИЙ».  РЕШЕНИЕ  ЗАДАЧ

Денисова  Анастасия

класс  11  «А»,  МБОУ  СОШ  с  углубленным  изучением  отдельных  предметов  №  103,  г.  Нижний  Новгород

Курганова  Галина  Алексеевна

научный  руководитель,  педагог  высшей  категории,  преподаватель  математики,  МБОУ  СОШ  с  углубленным  изучением  отдельных  предметов  №  103,  г.  Нижний  Новгород

При  испытании  геометрических  высказываний  на  правдоподобие,  при  поиске  контрпримеров  математик  нередко  рассуждает  так:  «Возьму  случай,  когда  высказывание  подтверждается,  и  «пошевелю»  одну  точку  (или  отрезок,  или  какое-либо  другое  множество  точек).  Не  могу  ли  я  таким  способом  получить  такой  случай,  когда  высказывание  не  подтверждается?»  [1,  с.  4]

Задача  1.  Из  точки  Р,  расположенной  внутри  выпуклого  многоугольника,  опускаются  перпендикуляры  на  его  стороны  или  на  их  продолжения.  Условимся  основание  такого  перпендикуляра  называть  «приятным»,  если  оно  принадлежит  стороне,  и  «неприятным»  в  противном  случае.  Верно  ли,  что  всякая  внутренняя  точка  любого  многоугольника  имеет  по  крайней  мере  две  приятные  проекции? 

Рисунок  1.Треугольник  ABC

Рисунок  2.Четырехугольник  MNCB

Решение:

Возьмем  сначала  в  качестве  искомого  выпуклого  многоугольника  треугольник  ABC.  Если  он  остроугольный,  то  все  проекции  любой  его  внутренней  точки  —  приятные.  Пусть  тр.  ABC  тупоугольный.  В  этом  случае  внутри  него  легко  выбрать  такую  точку  Р,  у  которой  будут  две  приятные  проекции  (рис.  1).  Теперь  нетрудно  построить  выпуклый  четырехугольник  и  точку,  лежащую  на  его  контуре,  так,  чтобы  эта  точка  имела  только  одну  приятную  проекцию.  Таков,  например,  четырехугольник  MNCB  (рис.  2  —  MN  —  любая  прямая,  оставляющая  снаружи  проекции  А',  В',  С').  Точка  Р  на  его  контуре  имеет  одну  приятную  проекцию  (этой  проекцией  будет  сама  точка  Р).  Но  точка  Р  не  лежит  внутри  многоугольника  MNCB.  Поэтому  «пошевелим»  точку  Р  —  сдвинем  ее  немного  внутрь  четырехугольника.  При  малом  «шевелении»  точки  Р  мало  пошевелятся  и  ее  проекции.  Поэтому  при  достаточно  малом  шевелении  те  проекции,  которые  были  неприятными  до  шевеления  точки  Р,  останутся  такими  и  после  шевеления.  Значит,  после  шевеления  точки  Р  мы  получим  внутри  четырехугольника  точку  Р',  у  которой  будет  ровно  одна  приятная  проекция  (а  именно  —  проекция  на  сторону  MN).

Использованный  в  задаче  приём  «шевеления»  в  научной  литературе  носит  название  метода  «малых  шевелений».  Прием  «малых  шевелений»  используется  для  задач,  в  которых  требуется  выбрать  из  некоторого  множества  фигур  ту,  которая  является  наилучшей  (берем  произвольную  фигуру  и  пытаемся  малыми  шевелениями  ее  улучшить,  т.е.  из  нескольких  ее  свойств  изменяем  только  одно,  стараясь  сохранить  остальные)  [1,  с.  6],  а  также  в  задачах,  где  требуется  рассматривать  вариации  параметров  при  определенных  неизменных  условиях.  Идею  «малых  шевелений»  полезно  привлечь  и  тогда,  когда  в  каком-то  множестве  фигур  требуется  выбрать  (построить,  найти)  ту,  которая  в  том  или  ином  смысле  является  «наилучшей»  (например,  найти  наименьший  периметр,  наибольшую  площадь  и  т.  п.).  На  практике  этот  метод  имеет  достаточно  широкое  применение:  это  решение  задач  повышенного  уровня  сложности  (в  т.  ч.  олимпиадных)  и  планиметрические  задачи  с  неоднозначностью  в  условии,  встречающиеся  в  Едином  Государственном  Экзамене  РФ.

Задача  2  (олимпиада  «Росатом»  НИЯУ  МИФИ,  очный  тур,  2013  г.)

Дана  полуокружность  радиусом  5  см  (AO=OB=R).  Равнобедренный  треугольник  EDC  (EC=DE,  DE  —  основание)  располагается  внутри  нее  так,  что  сторона  EC  лежит  на  диаметре,  а  вершина  D  принадлежит  полуокружности.  EC  =  7  см.  Найдите  максимально  возможную  длину  DC.

Рисунок  3.  Треугольник  CBD  (CED)

Решение:

1)  Методом  ММШ  несложно  убедиться,  что  наибольшая  длина  DC  достигается,  если  точка  E  совпадает  с  точкой  B  (рис.  3).  Тогда:

OC=BC(EC)-OB(R)=2  (см)

DO=R=5  (см)

2)  Пусть  угол  ,  а  угол  DBC  соответственно    (как  вписанный  и  центральный  углы,  опирающиеся  на  одну  дугу)

3)  По  теореме  косинусов:

В  то  же  время:

4)  Приравнивая  правые  части  уравнений  и  подставляя  численные  значения  получаем:  ,  а  так  же    (данное  значение  невозможно)

5)  Подставляя  полученное  значение    получаем,  что  DC  примерно  равно  5,42  ()

Ответ:  DC=5,42

Задача  3.  В  трапеции  KLMN  известны  боковые  стороны  KL  =  36,  MN=34  верхнее  основание  LM  =10  и  .  Найдите  диагональ  LN.

Решение: 

1)  По  условию  задачи  ,  значит  . 

2)  Из  вершины  L  опустим  перпендикуляр  к  KN  (LF).

3)  Для  вычисления  LF  найдем  синус  угла  LKF.

,  .

4)                    Проведем  LE  ||  MN,  E  принадлежит  KN.

Рисунок  4.Случай  1

Рисунок  5.Случай  2

Случай  первый  (рис.  4). 

FN  =  FE+EN  =  12,  LN=36

Случай  второй  —  передвинем  точку  N  (рис.  5). 

Тогда  будем  иметь: 

FN  =  EN-FN  =  8, 

Ответ:  36  или  .

Задача  4.  Трапеция  ABCD  с  основаниями  AD=6  и  BC=4  и  диагональю  BD=7  вписана  в  окружность  .  На  окружности  взята  точка  К  ,  отличная  от  точки  D  так,  что  BK=7.  Найдите  длину  отрезка  АК  (рис.  6).

Рисунок  6. Трапеция  ABCD

Решение:

1)  Равные  отрезки  стягивают  равные  дуги,  т.е.  дуга  BD  равна  дуге  BK.

2)  Дуга  BD  =  дуга  BС  +  дуга  CD;  дуга  BK  =  дуга  BA  +  дуга  AK

3)  Дуги  CD  и  ВА  равны  (их  стягивают  стороны  р/б  трапеции;трапеция  равнобедренная,  т.к.  только  около  р/б  трапеции  можно  описать  окружность),  следовательно  дуги  АК  и  ВС  также  равны,  т.е.  отрезки,  стягивающие  их  имеют  одинаковую  длину,  АК=ВС=4.

Второй  случай  невозможен,  в  чем  можно  убедиться  шевелением  точки  К  по  окружности  при  прочих  неизменных  параметрах.

Ответ:  4.

Таким  образом,  метод  малых  шевелений  представляет  большой  интерес,  так  как  с  его  помощью  можно  решать,  не  прилагая  больших  усилий,  геометрические  задачи  повышенного  уровня  сложности.  Метод  помогает  улучшить  проективное  мышление,  а  также  облегчает  возможность  нахождения  инварианта  в  задачах  с  неоднозначностью  в  условии.

Список  литературы:

1.Балк  Г.,  Балк  М.,  Болтянский  В.  —  Метод  малых  шевелений  —  М.:  МЦНМО,  журнал  «Квант»,  1979,  №  4.