АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ  МЕТОДЫ  ДОКАЗАТЕЛЬСТВ  ВЫЧИСЛЕНИЯ  ПЛОЩАДИ  ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Кузиванов  Дмитрий

Класс  10,  школа  МАОУ  «Гимназия  при  Главе  МР  «Сосногорск»,  РФ,  г.  Сосногорск

Кузиванова  Надежда  Ивановна

научный  руководитель,  педагог  высшей  категории,  учитель  математики  МБОУ  «Кадетская  школа»,  РФ,  г.  Сосногорск

Исследовательская  работа  посвящена  вычислению  площади  треугольника.

Актуальность  исследования   обусловлена  ежегодным  усложнением  заданий  ЕГЭ,  что  требует  углубленных  знаний  не  только  в  алгебре,  но  и  геометрии.

Цель:   доказать  и  исследовать  различные  формулы  для  вычисления  площади  треугольника. 

Формулы  для  площади  треугольника,  составленные  и  доказанные  в  данной  работе,  применимы  не  только  для  нахождения  площади,  но  и  для  отыскания  других  элементов  фигур  (угла,  стороны,  периметра  и  радиуса,  вписанной,  вневписанной  и  описанной  окружностей).

1.  . 

2.  . 

3.  . 

Доказательство  этих  формул  приводить  не  будем,  оно  известно  большинству  учеников.

4.  .  Доказательство.      (рисунок  1).

Рисунок  1.

5.  .  Доказательство.  Воспользуемся  формулой  .  Для  этого  умножим  на  2  и  возведём  в  квадрат  обе  части  равенства:    или  .

6.  . 

Доказательство .  Воспользуемся  формулой  Герона:  ;  .  Следовательно,  .

7.  .  Доказательство.  По  теореме  синусов    и  применяя  формулу  (2),  получим:  . 

8.  .  Доказательство.  По  теореме  синусов  .  Используя  формулу  (2),  имеем:  .

9.  .  Доказательство.  Из  теоремы  синусов  имеем  (рисунок  1):  .  Учитывая,  что    и  ,  получим:  ;  .  Подставляя  в  формулу  (8)  имеем:  ,  получим:  .

10.                .  Доказательство.  Из  прямоугольного  ∆AOK:  ,  из  прямоугольного  ∆COK:  (рисунок  1).  Складывая  эти  равенства,  получаем:  .  Аналогично  можно  получить,  что    и  .  Используя  формулу  (4),  получим:  .

11.                .  Доказательство.    (рисунок  2).  По  второй  формуле  имеем:  .  Аналогично:    и  .  Следовательно:  . 

Рисунок  2.

12.                .  Доказательство.  По  теореме  косинусов:    

Имеем:    Следовательно:    Отсюда  находим  площадь  треугольника:  .

13.                .  Доказательство.  По  теореме  синусов  имеем:  .  Поэтому,  используя  формулу  (2),  получим:  .

§  2.  Площадь  треугольника,  связанная  с  элементами  вневписанной  окружности

Вспомогательная  задача.   Доказать,  что  а)  ; 

б)  ;  в)  ;  г)  .

Доказательство .  Пусть  вписанная  окружность  касается  стороны  ВС  в  точке  К,  а  вневписанная  –  в  точке  L  (рисунок  3).  Тогда  ВС  =  ВК  +  КС  =  и  ВС  =  ВL  +  LC  =LB  +  LC  =  .  Кроме  того  р–b  =  ВК  =    и  р  –  b=СL=  .  Если  вневписанная  окружность  касается  продолжений  сторон  АВ  и  АС  в  точках  P  и  Q,  то  р  =  АР  =АQ  =  .

14.                ;  б)  ;  в)  .

Доказательство. 

Рисунок  3.

15.                .  Доказательство.  Согласно  задаче  =  и  =;  =  и  р.  Перемножая  эти  пары  равенств,  получаем  р(р-a)=  и  (р–в)(р–с)  =  и  подставляя  в  формулу  Герона,  получаем  исходную.

16.                .  Доказательство.  Согласно  задаче    и  .  Подставляя  в  формулу  ,  получаем  исходную.

17.                .  Доказательство.  Согласно  задаче    и  =  .  Перемножая  эти  равенства,  получаем  rp  =  ,  следовательно  .  Аналогично,  .  Поэтому    и  ,  а  значит,  .

18.                а);  б)  ;  в)  . 

Доказательство .  Согласно  задаче  (приложение  1)  р  =  АР  =АQ  =  .  Используя  формулу  ,  получаем  .

19.                .  Доказательство.  Согласно  задаче  ;    и  .  Перемножая  эти  равенства,  получаем  .  Подставляя  в  формулу  Герона  будем  иметь:  .  Следовательно,  .

20.                .  Доказательство.  Используя  формулы:  ,  нетрудно  получить  исходную  формулу. 

21.                .  Доказательство.  Эту  формулу  несложно  получить,  используя  задачу  и  формулу  (6).  Имеем:  ,  тогда  . 

Мы  самостоятельно  составили  и  доказали  формулы  площади  треугольника,  которые  можно  использовать  в  задачах  для  нахождения  неизвестных  величин. 

Геометрический  материал  этой  работы  богат  и  многообразен,  его  можно  использовать  на  факультативах  учащихся,  интересующихся  математикой.

Список  литературы:

1.Андреев  П.П.,  Шувалова  Э.З.  Геометрия,  М.:  «Наука»  1975,  —  с.  101—109.

2.Гейдман  Б.П.  Издательство  Московского  Центра  непрерывности  математического  образования.  Москва  2001,  —  с.  6—20.

3.Шавулова  Э.З.,  Каплун  В.И.  Геометрия,  М.:  «Высшая  школа»  1980,  —  с.  120—126.